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歐拉線(xiàn)超過(guò)三種證法

歐拉線(xiàn)超過(guò)三種證法: 問(wèn) 提問(wèn)者：網(wǎng)友 | 2017-10-09

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歐拉線(xiàn)　　三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心，依次位于同一直線(xiàn)上，這條直線(xiàn)就叫三角形的歐拉線(xiàn)。　　萊昂哈德?歐拉于1765年在它的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的重心在歐拉線(xiàn)上，即三角形的重心、垂心和外心共線(xiàn)。他證明了在任意三角形中，以上四點(diǎn)共線(xiàn)。歐拉線(xiàn)上的四點(diǎn)中，九點(diǎn)圓圓心到垂心和外心的距離相等，而且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半?！　W拉線(xiàn)的證明：　　作△ABC的外接圓，連結(jié)并延長(zhǎng)BO，交外接圓于點(diǎn)D。連結(jié)AD、CD、AH、CH、OH。作中線(xiàn)AM，設(shè)AM交OH于點(diǎn)G’　　∵ BD是直徑　　∴ ∠BAD、∠BCD是直角　　∴ AD⊥AB，DC⊥BC　　∵ CH⊥AB，AH⊥BC　　∴ DA‖CH，DC‖AH　　∴ 四邊形ADCH是平行四邊形　　∴ AH=DC　　∵ M是BC的中點(diǎn)，O是BD的中點(diǎn)　　∴ OM= 1/2DC　　∴ OM= 1/2AH　　∵ OM‖AH　　∴ △OMG’ ∽△HAG’　　∴AG/GM=2/1　　∴ G’是△ABC的重心　　∴ G與G’重合　　∴ O、G、H三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上　　如果使用向量,證明過(guò)程可以極大的簡(jiǎn)化,運(yùn)用向量中的坐標(biāo)法,分別求出O G H三點(diǎn)的坐標(biāo)即可.　　歐拉線(xiàn)的另證：　　設(shè)H,G,O,分別為△ABC的垂心、重心、外心。連接AG并延長(zhǎng)交BC于D, 則可知D為BC中點(diǎn)?！　∵B接OD ，又因?yàn)镺為外心，所以O(shè)D⊥BC。連接AH并延長(zhǎng)交BC于E,因H為垂心,所以 AE⊥BC。所以O(shè)D//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G為重心，則GA:GD=2:1。　　連接CG并延長(zhǎng)交BA于F,則可知D為BC中點(diǎn)。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF　　連接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相減可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以O(shè)D:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以O(shè)D:HA=GA:GD=2:1　　又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又連接AG并延長(zhǎng)，所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三點(diǎn)共線(xiàn)。: 回答者：網(wǎng)友

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